[독자투고]형식논리학 시리즈 1부: 형식논리학의 범위에 대한 소개

형식 논리학 시리즈는 웹진 반란 독자분께서 기고해주신 글 입니다. 반란을 더욱 풍성하게 해주신 노고에 감사드립니다. 아울러 반란은 항상 독자 여러분의 투고를 환영하오니 이메일 통해서 연락해주시면 감사하겠습니다.

변증법적 논리학을 논의할 때, 형식논리학과의 관계 설정이 중요하다. 그런데 많은 변증법적 유물론자들의 글들의 경우 고전적인 형식논리학을 논의 대상으로 한다. 이는 이미 변해버린 대상을 논의 대상으로 한다는 문제점이 있다. 필자는 형식논리학이 현재 어디까지 확장되었는지 설명함으로써, 변증법적 논리학 논의에 기여하고자 한다.

고전 형식논리학의 세 가지 기준은 다음과 같다: 명제 P에 대해, 동일률: P↔P (물체에 대해선 a=a) 모순율: ¬(P∧¬P) 배중률: P∨¬P

그러나 형식논리학은 고전 형식논리학의 기준을 위배하는 체계들로 확장되었다.

첫째, 명제의 동일률을 위배하는 논리체계로는 동일률을 위배하는 논리체계로는 Subreflexive logic[1]이 있다. 이는 semi-Heyting algebra라는 것을 사용하여 P⊢P라는 규칙을 제거하여, 결과적으로 동일률을 제거한다. 이는 컴퓨터 시스템에서 프로그램이 결과를 안 내놓고 영원히 루프를 도는 현상 등을 반영할 수 있다. 이를테면 P라는 명제에 대해 ((·)⊢(·))라는 프로그램을 돌렸을 때 항상 참, 거짓이 나오는 게 아니라 영원히 결론이 안 나고 루프를 돌 수 있는 것이다. 한편, 대상의 동일률을 위배하는 논리체계로는 슈뢰딩거 논리체계[2]가 있다. 해당 논리체계는 모순율과 배중률을 준수하지만, 양자역학적인 물체에 대해서는 동일률 자체를 성립 불가하게 한다. 양자역학적 물체는 자기 자신과 동일(=)하다는 것이 성립 자체를 안 하지만 구별불가능(≡)할 수는 있다. 이 논리체계에서는 두개의 전자가 있을 때, 특정 전자를 독립해서 취급하는 것을 허용하지 않고, 전체 체계에 대해서만 취급 가능하게 한다. 해당 논리체계는 양자역학에서의 통계적 현상을 기존 논리체계가 설명하지 못하였기에 개발되었다.

둘째, 모순율을 위배하는 논리체계로는 양진논리체계[3]가 있다. 해당 논리체계는 동일률과 배중률을 준수하도록 할 수 있지만, 논리적 모순을 받아들일 수 있다. 이를테면 거짓말쟁이 역설 (“A: A는 거짓이다”에서 A가 거짓일 경우 A가 참이 되고, A가 참일 경우 A가 거짓이 된다.)에 대해 A는 거짓인 동시에 참이라고 한다. 논리적 모순을 수용하는 것이 폭발 원리 (모순을 받아들이면 모든 명제가 참이 됨) 로 이어져 논리체계를 망가뜨리는 것을 막기 위해 해당 논리체계는 선언 도입 규칙 (P⊢P∨Q)이나 선언 삼단논법 규칙 ((P∨Q)∧¬P⊢Q)을 거부한다. 해당 논리체계는 언어/메타언어 구분 (해당 구분 하에서 “A: A는 거짓이다”는 메타언어와 언어가 부적절하게 섞인 금지된 문장이 되어 역설이 해소된다.) 을 사용하지 않으면서 논리적 모순을 다루기 위해 개발되었다.

셋째, 배중률을 위배하는 논리체계로는 직관주의 논리체계[4]가 있다. 해당 논리체계는 수학에서 간접증명을 미심쩍어하는 연구자들에 의해 개발되었다. 간접증명이란, ¬P⊢Q;¬Q;P 같은 형태의 논증이다. 해당 논증은 배중률에 의해 성립한다. 이럴 경우 P에 대한 직접적 증거 없이 P의 참 거짓을 다루게 된다. 직관주의 논리체계에서는 P를 증명하려면 P에 대한 직접적 증거를 제시해야 한다.

한편, 타르스키는 고전 논리학의 기준과 다르게 논리체계의 세 가지 기준을 제시하였다.[5] 전제들의 집합 X,Y과 문장 A에 대해, 반사성: 만약 A∈X 라면, X⊢A이다. 단조성: 먄약 X⊢A 라면, X∪Y⊢A이다. 이행성: 만약 X⊢Y이고 Y⊢A라면, X⊢A이다. 참고로 위 규칙에서 “⊢” 표시는 전제에서 결론이 유도된다는 뜻이다.

그러나 형식논리학은 타르스키의 세 기준을 위배하는 체계들로 확장되었다.

첫째, 동일률을 위배하는 논리체계는 동시에 반사성을 위배하는 논리체계이다. 왜냐하면 A↔A 의 정의 자체가 A⊢A이기 때문이다.

둘째, 단조성을 위배하는 논리체계로는 Autoepistemic 논리체계가 있다[6]. 해당 논리체계는 새로운 정보를 바탕으로 기존의 명제를 폐기할 수 있게 한다. 해당 논리체계는 새로운 지식이 지식체계의 자기수정을 가져오는 과정을 설명하기 위해 개발되었다.

셋째, 이행성을 위배하는 논리체계로는 Strict-Tolerant 논리체계[7]가 있다. 해당 논리체계 안에서 진리값은 “참”, “거짓”, “참도 거짓도 아님” 세가지가 있다. 해당 논리체계에서 가정 P가 “참”일 때 결론 Q가 “참”이나 “참도 거짓도 아님”일 경우, P⊢Q는 타당하다. 그럴 경우 ((P⊢Q)∧ (Q⊢R)) ⊢(P⊢R)는 타당하지 않다. 해당 논리 체계는 “크다”, “작다”와 같은 모호한 술어를 다루기 위해 만들어졌다. 이를테면, “3cm가 작은 길이이면, 4cm도 작은 길이이다”가 타당("참"이거나 "참도 거짓도 아님")하다고 해보자. 한편, “4cm가 작은 길이이면 5cm는 작은 길이이다”도 타당 ("참" 혹은 "참도 거짓도 아님") 하다고 해보자. 그러한 상황에서 "3cm가 작은 길이이다"라는 명제가 참이라면, "4cm가 작은 길이이다"는 명제는 타당("참" 혹은 "참도 거짓도 아님")할 것이다. 그러나 "4cm가 작은 길이이다"가 "거짓"이 아닐 뿐이지 "참도 거짓도 아님"일 가능성이 있으므로 전제로 사용할 순 없어서 "4cm가 작은 길이이면 5cm도 작은 길이이다"라는 도출을 적용하지 못한다. 따라서 “5cm는 작은 길이이다”라는 명제가 타당하다고 할 수 없는 것이다. 이를 통해 모호한 술어가 만들어내는 무한한 확장성의 문제를 피할 수 있다.

형식논리학은 이 외에도 시간에 따라 진리가 변화하는 논리체계나 필연성과 우연성을 다루는 논리체계로 확장되었다. 시간에 따라 진리가 변화하는 논리체계의 사례로는 Linear Temporal 논리체계[8]가 있고, 필연성과 우연성을 다루는 논리체계로는 양상논리체계[9]가 있다.

설명한 논리체계들은 형식논리학 체계들의 극히 일부분이며, 매우 다양한 변종들이 존재한다.

결론적으로, 현재 형식논리학은 전제들에서 결론을 이끌어내는 규칙들이라는 매우 추상적인 규정 외에는 최소한의 공통 법칙들이 없다. 형식논리학은 가족유사적인 논리 체계들의 집합이다. 변증법적 논리학의 형식논리학에 대한 관계설정은 현재 형식논리학의 최소 공통 법칙이 없음을 인지한 상태에서 진행되어야 한다.

참고문헌 [1] Abou El Wafa, Noah & Platzer, André. Subreflexive Logic: Completeness without Identity. ArXiv, 10.48550/arXiv.2607.246. (2026).

[2] da Costa, N.C.A., Krause, D. Schrödinger logics. Stud Logica, (53), 533–550 (1994).

[3] 이진희. 양진주의 , 복수문제 그리고 표현가능성. 철학사상, (7), 75-104 (2020).

[4] 이승온, 김혁수, 박진원, 이병식. 직관주의 논리. Historia Mathematica, (12), 32-44 (1999).

[5] Szmuc, Damian E.. Non-transitive counterparts of every Tarskian logic. Analysis 84 (2):320-326. (2024).

[6] Wiktor Marek and Mirosław Truszczyński. Autoepistemic logic. J. ACM (38), 3, 587–618. (1991).

[7] Fitting, M. A Family of Strict/Tolerant Logics. J Philos Logic 50, 363–394 (2021).

[8] Arzaghi, Saman. An Introduction To Linear Temporal Logic (LTL). Research Gate. (2021).

[9] 신승철. 양상 논리의 이해. 프로그래밍언어논문지, 18(1), 1-13. (2004).